提高德州扑克胜率:高考數學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第4節 直線與圓、圓與圓的位置關系

來源:互聯網 編輯:李元芳 手機版

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第四節 直線與圓、圓與圓的位置關系

[考綱傳真] 1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系;能根據給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想.

(對應學生用書第116頁)

[基礎知識填充]

1.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法

(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系:dr?相離.

(2)代數法:聯立直線l與圓C的方程,消去y(或x),得一元二次方程,計算判別式Δ=b2-4ac,Δ>0?相交,Δ=0?相切,Δ<0?相離.

2.圓與圓的位置關系

設圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r

(r1>0),

圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r

(r2>0).

方法

位置關系  

幾何法:圓心距d與r1,r2的關系

代數法:聯立兩個圓的方程組成方程組的解的情況

相離

d>r1+r2

無解

外切

d=r1+r2

一組實數解

相交

|r2-r1|兩組不同的實數解

內切

d=|r1-r2|(r1≠r2)

一組實數解

內含

0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

無解

[知識拓展]

1.圓的切線

(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程是xx0+yy0=r2;

(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程是(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

(3)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.

2.直線被圓截得的弦長

弦心距d、弦長a的一半

a及圓的半徑r構成一直角三角形,且有r2=d2+

2.

3.圓與圓的位置關系的常用結論

(1)兩圓的位置關系與公切線的條數:①內含:0條;②內切:1條;③相交:2條;④外切:3條;⑤相離:4條.

(2)當兩圓相交時,兩圓方程(x2,y2項系數相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.

[基本能力自測]

1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)

(1)“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”的必要不充分條件.(  )

(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解,則兩圓外切.(  )

(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和,則兩圓相交.(  )

(4)若兩圓相交,則兩圓方程相減消去二次項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程.(  )

[解析] 依據直線與圓、圓與圓的位置關系,只有(4)正確.

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(教材改編)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關系為(  )

A.內切    B.相交   

C.外切    D.相離

B [兩圓圓心分別為(-2,0),(2,1),半徑分別為2和3,圓心距d=

.∵3-23.(2017·合肥調研)直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值是

(  )

A.-2或12 B.2或-12

C.-2或-12 D.2或12

D [由圓x2+y2-2x-2y+1=0,知圓心(1,1),半徑為1,所以

=1,解得b=2或12.]

4.在平面直角坐標系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長為__________.

 [圓心為(2,-1),半徑r=2.

圓心到直線的距離d=

,

所以弦長為2

=2

.]

5.(2018·張家口模擬)已知直線12x-5y=3與圓x2+y2-6x-8y+16=0相交于A,B兩點,則|AB|=________. 【導學號:00090279】

4

 [把圓的方程化成標準方程為(x-3)2+(y-4)2=9,所以圓心坐標為(3,4),半徑r=3,所以圓心到直線12x-5y=3的距離d=

=1,則|AB|=2

=4

.]

(對應學生用書第117頁)

直線與圓的位置關系

 (1)(2018·開封模擬)直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關系是(  )

A.相交     B.相切    

C.相離     D.不確定

(2)若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上,則該圓在點P處的切線方程為__________.

(3)(2016·全國卷Ⅰ)設直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點,若|AB|=2

,則圓C的面積為________.

(1)A (2)x+2y-5=0 (3)4π  [(1)法一:∵圓心(0,1)到直線l的距離d=

<1<

.故直線l與圓相交.

法二:直線l:mx-y+1-m=0過定點(1,1),∵點(1,1)在圓C:x2+(y-1)2=5的內部,∴直線l與圓C相交.

(2)∵以原點O為圓心的圓過點P(1,2),

∴圓的方程為x2+y2=5.

∵kOP=2,∴切線的斜率k=-

.

由點斜式可得切線方程為y-2=-

(x-1),即x+2y-5=0.

(3)圓C:x2+y2-2ay-2=0化為標準方程是C:x2+(y-a)2=a2+2,所以圓心C(0,a),半徑r=

.|AB|=2

,點C到直線y=x+2a即x-y+2a=0的距離d=

,由勾股定理得

2+

2=a2+2,解得a2=2,所以r=2,所以圓C的面積為π×22=4π.]

[規律方法] 1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關系,也可利用直線的方程與圓的方程聯立后得到的一元二次方程的判別式來判斷;

(2)注意靈活運用圓的幾何性質,聯系圓的幾何特征,數形結合,簡化運算.如“切線與過切點的半徑垂直”等.

2.與弦長有關的問題常用幾何法,即利用弦心距、半徑和弦長的一半構成直角三角形進行求解.

[變式訓練1] (1)(2018·蘭州模擬)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,則該切線的方程為(  )

A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0

C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0

(2)(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l:x-

y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點,則|CD|=__________.

【導學號:00090280】

(1)B (2)4 [(1)依題意知,點(3,1)在圓(x-1)2+y2=r2上,且為切點.∵圓心(1,0)與切點(3,1)連線的斜率為

,所以切線的斜率k=-2.故圓的切線方程為y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.

(2)由圓x2+y2=12知圓心O(0,0),半徑r=2

.∴圓心(0,0)到直線x-

y+6=0的

距離d=

=3,|AB|=2

=2

.過C作CE⊥BD于E.

如圖所示,則|CE|=|AB|=2

.

∵直線l的方程為x-

y+6=0,

∴kAB=

,則∠BPD=30°,從而∠BDP=60°.

∴|CD|=

=4.]

圓與圓的位置關系

 (1)(2016·山東高考)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2

,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關系是(  )

A.內切 B.相交

C.外切 D.相離

(2)(2018·漢中模擬)若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦長為2

,則a=________.

(1)B (2)1 [(1)法一:由

得兩交點為(0,0),(-a,a).∵圓M截直線所得線段長度為2

,∴

=2

.又a>0,∴a=2.

∴圓M的方程為x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圓心M(0,2),半徑r1=2.

又圓N:(x-1)2+(y-1)2=1,圓心N(1,1),半徑r2=1,

∴|MN|=

.

∵r1-r2=1,r1+r2=3,1<|MN|<3,∴兩圓相交.

法二:∵x2+y2-2ay=0(a>0)?x2+(y-a)2=a2(a>0),

∴M(0,a),r1=A.

∵圓M截直線x+y=0所得線段的長度為2

,∴圓心M到直線x+y=0的距離d=

,解得a=2.

以下同法一.

(2)方程x2+y2+2ay-6=0與x2+y2=4.

兩式相減得:2ay=2,則y=

.

由已知條件

,即a=1.]

[規律方法] 1.圓與圓的位置關系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關系.

2.若兩圓相交,則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y2項得到.

3.若兩圓相交,則兩圓的連心線垂直平分公共弦.

[變式訓練2] (1)圓x2+y2-6x+16y-48=0與圓x2+y2+4x-8y-44=0的公切線條數為(  )

A.1 B.2

C.3 D.4

(2)(2017·山西太原模擬)若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=(  )

A.21 B.19

C.9 D.-11

(1)B (2)C [(1)將兩圓x2+y2-6x+16y-48=0與x2+y2+4x-8y-44=0化為標準形式分別為(x-3)2+(y+8)2=112,(x+2)2+(y-4)2=82.因此兩圓的圓心和半徑分別為O1(3,-8),r1=11;Q2(-2,4),r2=8.故圓心距|O1O2|=

=13.又|r1+r2|>|O1O2|>|r1-r2|,因此兩圓相交,公切線只有2條.

(2)圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1,圓C2的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圓C2的圓心為C2(3,4),半徑r2=

(m<25).從而|C1C2|=

=5.由兩圓外切得|C1C2|=r1+r2,即1+

=5,解得m=9,故選C.]

直線與圓的綜合問題

(2016·江蘇高考改編)如圖8-4-1,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).

(1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程;

(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程. 【導學號:00090281】

圖8-4-1

[解] 圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25,

所以圓心M(6,7),半徑為5. 1分

(1)由圓心N在直線x=6上,可設N(6,y0).

因為圓N與x軸相切,與圓M外切,

所以0 因此,圓N的標準方程為(x-6)2+(y-1)2=1. 5分

(2)因為直線l∥OA,

所以直線l的斜率為

=2.

設直線l的方程為y=2x+m,

即2x-y+m=0,

則圓心M到直線l的距離

d=

. 8分

因為BC=OA=

=2

,

而MC2=d2+

2,

所以25=

+5,

解得m=5或m=-15.

故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. 12分

[規律方法] 1.(1)設出圓N的圓心N(6,y0),由條件圓M與圓N外切,求得圓心與半徑,從而確定圓的標準方程.(2)依據平行直線,設出直線l的方程,根據點到直線的距離公式及勾股定理求解.

2.求弦長常用的方法:①弦長公式;②半弦長、半徑、弦心距構成直角三角形,利用勾股定理求解(幾何法).

[變式訓練3] 在直角坐標系xOy中,以坐標原點O為圓心的圓與直線:x-

y=4相切.

(1)求圓O的方程;

(2)若圓O上有兩點M,N關于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2

,求直線MN的方程.

[解] (1)依題意,圓O的半徑r等于原點O到直線x-

y=4的距離,

則r=

=2.

所以圓O的方程為x2+y2=4. 5分

(2)由題意,可設直線MN的方程為2x-y+m=0.

則圓心O到直線MN的距離d=

. 7分

由垂徑分弦定理,得

+(

)2=22,

即m=±

. 10分

所以直線MN的方程為2x-y+

=0或2x-y-

=0. 12分

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