德州扑克战术的微博:2019高考數學二輪復習專題六函數與導數、不等式第4講導數與函數的單調性、極值、最值問題練習

來源:互聯網 編輯: 張倩 手機版

德州扑克谁发明的 www.mvlaf.icu 第4講 導數與函數的單調性、極值、最值問題

高考定位 利用導數研究函數的性質,能進行簡單的定積分計算,以含指數函數、對數函數、三次有理函數為載體,研究函數的單調性、極值、最值,并能解決簡單的問題.

真 題 感 悟

1.(2018·全國Ⅰ卷)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數,則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為(  )

A.y=-2x B.y=-x

C.y=2x D.y=x

解析 因為函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax為奇函數,所以f(-x)=-f(x),可得a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x.

答案 D

2.(2017·全國Ⅱ卷)若x=-2是函數f(x)=(x2+ax-1)·ex-1的極值點,則f(x)的極小值為(  )

A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1

解析 f′(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1,

則f′(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0 a=-1,

則f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f′(x)=(x2+x-2)·ex-1,

令f′(x)=0,得x=-2或x=1,

當x<-2或x>1時,f′(x)>0;當-2則f(x)極小值為f(1)=-1.

答案 A

3.(2018·天津卷)已知函數f(x)=exln x,f′(x)為f(x)的導函數,則f′(1)的值為________.

解析 由題意得f′(x)=exln x+ex·

,則f′(1)=e.

答案 e

4.(2018·全國Ⅰ卷改編)已知函數f(x)=

-x+aln x.

(1)試討論函數f(x)的單調性;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個極值點,且x2>x1,設t=f(x1)-f(x2)-(a-2)(x1-x2),試證明t>0.

(1)解 f(x)的定義域為(0,+∞),

f′(x)=-

-1+

=-

.

(ⅰ)若a≤2,則f′(x)≤0,

當且僅當a=2,x=1時f′(x)=0,

所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減.

(ⅱ)若a>2,令f′(x)=0得,

x=

或x=

.

當x∈

時,f′(x)<0;

當x∈

時,f′(x)>0.

所以f(x)在

,

上單調遞減,

上單調遞增.

(2)證明 由(1)知,f(x)存在兩個極值點時,當且僅當a>2.

由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足x2-ax+1=0,

所以x1x2=1.

又∵x2>x1>0,所以x2>1.

又t=f(x1)-f(x2)-(a-2)(x1-x2)

-(x1-x2)+a(ln x1-ln x2)-(a-2)(x1-x2)

=a

=-a

.

設φ(x)=

-x+2ln x,x>1.

由第(1)問知,φ(x)在(1,+∞)單調遞減,且φ(1)=0,

從而當x∈(1,+∞)時,φ(x)<0.

所以

+2ln x2-x2<0,故t>0.

考 點 整 合

1.導數的幾何意義

函數f(x) 在x0處的導數是曲線f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率,曲線f(x)在點P處的切線的斜率k=f′(x0),相應的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

易錯提醒 求曲線的切線方程時,要注意是在點P處的切線還是過點P的切線,前者點P為切點,后者點P不一定為切點.

2.四個易誤導數公式

(1)(sin x)′=cos x;

(2)(cos x)′=-sin x;

(3)(ax)′=axln a(a>0,且a≠1);

(4)(logax)′=

(a>0,且a≠1,x>0).

3.利用導數研究函數的單調性

(1)導數與函數單調性的關系.

①f′(x)>0是f(x)為增函數的充分不必要條件,如函數f(x)=x3在(-∞,+∞)上單調遞增,但f′(x)≥0.

②f′(x)≥0是f(x)為增函數的必要不充分條件,如果函數在某個區間內恒有f′(x)=0時,則f(x)為常數函數.

(2)利用導數研究函數單調性的方法.

①若求單調區間(或證明單調性),只要在函數定義域內解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.

②若已知函數的單調性,則轉化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調區間上恒成立問題來求解.

4.利用導數研究函數的極值、最值

(1)若在x0附近左側f′(x)>0,右側f′(x)<0,則f(x0)為函數f(x)的極大值;若在x0附近左側f′(x)<0,右側f′(x)>0,則f(x0)為函數f(x)的極小值.

(2)設函數y=f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得.

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