德州扑克人机大战结果:精選高中數學第三章導數及其應用3.1.3導數的幾何意義高效測評新人教A版選修1 - 1

來源:互聯網 編輯:李元芳 手機版

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‖2017學年高中數學 第三章 導數及其應用 3.1.3 導數的幾何意義高效測評 新人教A版選修1-1

一、選擇題(每小題5分,共20分)

1.曲線y=-

在點(1,-1)處的切線方程為(  )

A.y=x-2        B.y=x

C.y=x+2 D.y=-x-2

解析: f′(1)=

=1,則在(1,-1)處的切線方程為y+1=x-1,即y=x-2.

答案: A

2.已知函數y=f(x)的圖象如圖,則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是(  )

A.f′(xA)>f′(xB)

B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB)

D.不能確定

解析: 分別作出A,B兩點的切線,由題圖可知kB答案: A

3.下列點中,在曲線y=x2上,且在該點處的切線傾斜角為

的是(  )

A.(0,0) B.(2,4)

C.

D.

解析: k=f′(x)=

(2x+Δx)=2x.

∵傾斜角為

,∴斜率為1.

∴2x=1,即x=

.

答案: D

4.曲線f(x)=x3+x-2在P0處的切線平行于直線y=4x-1,則點P0的坐標為(  )

A.(1,0) B.(1,0)和(-1,-4)

C.(2,8) D.(2,8)和(-1,-4)

解析: 設切點為P0(a,b),

f′(x)=

[3x2+3x·Δx+(Δx)2+1]

=3x2+1,

k=f′(a)=3a2+1=4,a=±1.

把a=-1,代入到f(x)=x3+x-2得b=-4;

把a=1,代入到f(x)=x3+x-2得b=0,

所以P0點的坐標為(1,0)和(-1,-4).

答案: B

二、填空題(每小題5分,共10分)

5.設曲線y=f(x)=ax2在點(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a=________.

解析: f′(x)=

(2ax+aΔx)=2ax,

由題意得f′(1)=2,故2a=2,∴a=1.

答案: 1

6.如果f(x)=x2,那么f(x)在點x=

處的切線的傾斜角是________.

解析: 由導數的定義,得

f′(x)=

(2x+Δx)=2x.

由導數的幾何意義,得f(x)在x=

處的切線的斜率為k=f′

=2×

=1.∴該切線的傾斜角為

.

答案: 

三、解答題(每小題10分,共20分)

7.已知曲線C:f(x)=x3.

(1)求曲線C上橫坐標為1的點處的切線的方程;

(2)求過點(1,1)與f(x)=x3相切的直線.

解析: (1)∵f′(x)=

[(Δx)2+3x2+3x·Δx]

=3x2,

∴f′(1)=3×12=3,又f(1)=13=1,

∴切線方程為y-1=3(x-1),

即3x-y-2=0.

(2)設切點為P(x0,x

),

由(1)知切線斜率為k=f′(x0)=3x

,

故切線方程為y-x

=3x

(x-x0).

又點(1,1)在切線上,將其代入切線方程

得1-x

=3x

(1-x0),

即2x

-3x

+1=0,

解得x0=1或x0=-

.

故所求的切線方程為

y-1=3(x-1)或y-1=

(x-1),

即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.

8.在曲線y=x2上哪一點的切線,

(1)平行于直線y=4x-5;

(2)垂直于直線2x-6y+5=0;

(3)與x軸成135°的傾斜角.

解析: f′(x)=

(Δx+2x)=2x.

(1)設切點為(x0,x

),

∵直線的斜率k=4,

∴2x0=4,解得x0=2,

∴所求切點為(2,4).

(2)設切點為(x0,x

),

∵切線垂直于直線2x-6y+5=0,

∴切線的斜率k=-3,

∴2x0=-3,解得x0=-

,

∴所求切點為

.

(3)設切點為(x0,x

),

∵直線的斜率k=-1,

∴2x0=-1,解得x0=-

,

∴所求切點為

.

9.(10分)若直線y=kx是曲線y=x3-3x2+2x上一點處的切線,求實數k的值.

解析: 設切點(x0,x

-3x

+2x0),

=(Δx)2+3x

+3Δx·x0-6x0-3Δx+2,

Δx趨近0時,

趨近于3x

-6x0+2,

所以k=3x

-6x0+2,切線方程為

y-(x

-3x

+2x0)=(3x

-6x0+2)(x-x0),

切線過原點,所以

0-(x

-3x

+2x0)=(3x

-6x0+2)(0-x0),

解得x0=0或

,則k=2或-

.

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