高额德州扑克第四季第3集:河北省2019年中考數學復習 二次函數 第19講 二次函數的應用(2)試題(含解析)

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第19講 二次函數的應用(2)

1. (2012,河北,導學號5892921)某工廠生產一種合金薄板(其厚度忽略不計),這些薄板的形狀均為正方形,邊長(單位:cm)在5~50之間,每張薄板的成本價(單位:元)與它的面積(單位:cm2)成正比例,每張薄板的出廠價(單位:元)由基礎價和浮動價兩部分組成,其中基礎價與薄板的大小無關,是固定不變的,浮動價與薄板的邊長成正比例,在營銷過程中得到了表格中的數據.

薄板的邊長/cm

20

30

出廠價/(元/張)

50

70

(1)求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數解析式;

(2)已知出廠一張邊長為40 cm的薄板,獲得的利潤是26元(利潤=出廠價-成本價).

①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數解析式;

②當邊長為多少時,出廠一張薄板獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

【思路分析】 (1)設一張薄板的邊長為x cm,它的出廠價為y元,基礎價為n元,浮動價為kx元,則y=kx+n.利用待定系數法求一次函數的解析式即可.(2)①設一張薄板的利潤為p元,它的成本價為mx2元.由題意,得p=y-mx2,進而得出m的值,求出函數解析式即可.②利用二次函數的最值公式求出二次函數的最值即可.

解:(1)設一張薄板的邊長為x cm,它的出廠價為y元,基礎價為n元,浮動價為kx元,則y=kx+n.

由表格中的數據,得

解得

所以一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數解析式為y=2x+10.

(2)①設一張薄板的利潤為p元,它的成本價為mx2元.

由題意,得p=y-mx2=2x+10-mx2.

將x=40,p=26代入p=2x+10-mx2,得26=2×40+10-m·402.

解得m=.

所以一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數解析式為p=-x2+2x+10.

②因為a=-<0,

所以當x=-=-=25(在5~50之間)時,

p最大==35.

所以出廠一張邊長為25 cm的薄板,獲得的利潤最大,最大利潤是35元.

 利潤問題

例1 (2018,揚州節選,導學號5892921)“揚州漆器”名揚天下,某網店專門銷售某種品牌的漆器筆筒,成本為30元/件,每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間存在一次函數關系,如圖所示.

(1)求y與x之間的函數關系式;

(2)如果規定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件,當銷售單價為多少元時,每天獲取的利潤最大?最大利潤是多少?

例1題圖

【思路分析】 (1)直接利用待定系數法確定y與x之間的函數關系式.(2)先由題意得出x的取值范圍,再根據總利潤=銷售量×單件的利潤,將(1)中的函數關系式代入,得到總利潤與銷售單價之間的函數關系式,最后根據其性質求出最大值.

解:(1)設y與x之間的函數關系式為y=kx+b.

由題意,得

解得

故y與x之間的函數關系式為y=-10x+700.

(2)由題意,得-10x+700≥240.

解得x≤46.

設每天獲取的利潤為w元,

則w=(x-30)·y

=(x-30)(-10x+700)

=-10x2+1 000x-21 000

=-10(x-50)2+4 000.

∵-10<0,

∴當x<50時,w隨x的增大而增大.

∴當x=46時,w最大,w最大=-10×(46-50)2+4 000=3 840.

答:當銷售單價為46元時,每天獲取的利潤最大,最大利潤是3 840元.

針對訓練1 (2018,深圳模擬)某商場試銷一種成本為50元/件的T恤,規定試銷期間單價不低于成本單價,又獲利不得高于50%.經試銷發現,銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)符合一次函數關系,試銷數據如下表:

銷售單價/(元/件)

55

60

70

銷售量/件

75

70

60

(1)求y與x之間的函數關系式;

(2)若該商場獲得的利潤為w元,試寫出利潤w與銷售單價x之間的函數關系式.當銷售單價定為多少元時,商場可獲得最大利潤?最大利潤是多少元?

【思路分析】 (1)直接利用待定系數法確定y與x之間的函數關系式.(2)根據利潤=銷售量×(銷售單價-單件成本),將(1)中的函數關系式代入,得到利潤w與銷售單價x之間的函數關系式,再根據x的取值范圍和二次函數的性質求出最大值.

解:(1)設y與x之間的函數關系式為y=kx+b.

由題意,得

解得

∴y=-x+130.

(2)w=(x-50)(130-x)

=-x2+180x-6 500

=-(x-90)2+1 600.

由題意,得x≤50×(1+50%),即x≤75.

∴50≤x≤75.

∵當x<90時,w隨x的增大而增大,

∴當x=75時,w取得最大值,為1 375.

所以當銷售單價定為75元時,商場可以獲得最大利潤,最大利潤是1 375元.

 二次函數與幾何圖形的綜合

例2 (2018,保定模擬)如圖,已知矩形ABCD的邊AB=2,BC=3,P是AD邊上的一動點(點P異于點A,D),Q是BC邊上的任意一點,連接AQ,DQ,過點P作PE∥DQ交AQ于點E,作PF∥AQ交DQ于點F.

(1)求證:△APE∽△PDF;

(2)設AP=x,求四邊形EQDP的面積S(用含x的代數式表示出來);當四邊形EQDP的面積等于2時,說明PE與DQ的數量關系.

例2題圖

【思路分析】 (1)根據PE∥DQ,PF∥AQ得出同位角相等即可證得兩三角形相似.(2)由PE∥DQ,得到△APE∽△ADQ.根據相似三角形的性質得到.求出S△ADQ=

S矩形ABCD=3,于是得到S=S△ADQ-S△APE=-x2+3.根據四邊形EQDP的面積等于2,列方程即可得到結論.

(1)證明:∵PE∥DQ,

∴∠APE=∠PDF.

∵PF∥AQ,

∴∠DPF=∠PAE.

∴△APE∽△PDF.

(2)解:∵PE∥DQ,

∴△APE∽△ADQ.

,.

∵S△ADQ=S矩形ABCD=3,

∴S△APE=x2.

∴S=S△ADQ-S△APE=-x2+3.

當四邊形EQDP的面積等于2時,2=-x2+3.

解得x=.

∴AP=AD.

∴PE=DQ.

針對訓練2(2018,揭陽一模)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AD為BC邊上的高,動點P在AD上,從點A出發,沿A→D方向運動.設AP=x,△ABP的面積為S1,矩形PDFE的面積為S2,y=S1+S2,則y與x之間的關系式是 y=-x2+3x .

訓練2題圖

【解析】 ∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AD為BC邊上的高,AP=x,∴∠BAD=∠CAD=45°.∴BD=AD=2.∴PE=AP=x,PD=AD-AP=2-x.∴y=S1+S2=+(2-x)·x=-x2+3x.

一、 選擇題

1. (2018,馬鞍山二模)某農產品市場經銷一種成本為每千克40元的農產品.據市場分析,若按每千克50元銷售,一個月能售出500 kg;銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10 kg.設銷售單價為每千克x元,月銷售利潤為y元,則y與x之間的函數關系式為(C)

A. y=(x-40)(500-10x) B. y=(x-40)(10x-500)

C. y=(x-40)[500-10(x-50)]  D. y=(x-40)[500-10(50-x)]

【解析】 因為銷售單價為每千克x元,月銷售利潤為y元,所以y與x之間的函數關系式為y=(x-40)[500-10(x-50)].

2. (2018,蕪湖繁昌縣一模)某大學生利用課余時間在網上銷售一種成本為50元/件的商品,每月的銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)之間的函數關系式為y=-4x+440,要使銷售該商品獲得的月利潤最大,該商品的售價應定為(C)

A. 60元/件 B. 70元/件

C. 80元/件 D. 90元/件

【解析】 設銷售該商品每月所獲總利潤為w元,則w=(x-50)(-4x+440)=-4x2+640x-22 000=-4(x-80)2+3 600.∴當x=80時,w取得最大值,最大值為3 600.所以當售價為80元/件時,銷售該商品所獲月利潤最大.

3. 如圖,已知邊長為4的正方形ABCD,P是BC邊上一動點(與點B,C不重合),連接AP,作PE⊥AP交外角∠DCF的平分線于點E.設BP=x,△PCE的面積為y,則y與x之間的函數關系式是(C)

第3題圖

A. y=2x+1 B. y=x-2x2

C. y=2x-x2 D. y=2x

【解析】 如答圖,過點E作EH⊥BC于點H.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DCH=

90°.∵CE平分∠DCH,∴∠ECH=∠DCH=45°.∵∠CHE=90°,∴∠CEH=∠ECH=45°.∴EH=CH.∵四邊形ABCD是正方形,AP⊥EP,∴∠B=∠CHE=∠APE=90°.

∴∠BAP+∠APB=90°,∠APB+∠EPH=90°.∴∠BAP=∠EPH.∴△BAP∽△HPE.∴.∴.∴EH=x.∴y=·CP·EH=·(4-x)·x=2x-x2.

第3題答圖

4. (2018,淄博模擬)如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,動點P從點A開始沿邊AB向點B以2 mm/s的速度移動(不與點B重合),動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4 mm/s的速度移動(不與點C重合).如果點P,Q分別從點A,B同時出發,那么四邊形APQC的面積最小時,經過(C)

第4題圖

A. 1 s B. 2 s

C. 3 s D. 4 s

【解析】 設點P,Q同時出發t s時,四邊形APQC的面積為S mm2,則S=S△ABC-S△PBQ=×12×24-·4t·(12-2t)=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.∵4>0,∴當t=3時,S取得最小值.

5. (2018,天津武清區模擬)某鞋帽專賣店銷售一種絨帽,若這種帽子每天獲利y(元)與銷售單價x(元)滿足關系y=-x2+70x-800,要想獲得日最大利潤,則銷售單價為(B)

A. 30元 B. 35元

C. 40元 D. 45元

【解析】 ∵y=-x2+70x-800=-(x-35)2+425,∴當x=35時,y取得最大值,最大值為425,即銷售單價為35元時,日銷售利潤最大.

6. (2018,廣州南沙區模擬)如圖,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm.點P從點A出發,沿AB方向以2 cm/s的速度向點B運動,同時點Q從點A出發,沿AC方向以1 cm/s的速度向點C運動,其中一個動點到達終點則另一個動點也停止運動,則△APQ的面積最大是(C)

第6題圖

A. 10 cm2 B. 8 cm2

C. 16 cm2 D. 24 cm2

【解析】 設運動時間為t s.根據題意,得AP=2t,AQ=t,∴S△APQ=t2.易知0<t≤4,∴△APQ的面積最大是16 cm2.

7. 如圖,正方形ABCD的邊長為1,E,F分別是邊BC和CD上的動點(不與正方形的頂點重合),不管點E,F怎樣運動,始終保持AE⊥EF.設BE=x,DF=y,則y關于x的函數解析式是(C)

第7題圖

A. y=x+1 B. y=x-1

C. y=x2-x+1 D. y=x2-x-1

【解析】 ∵四邊形ABCD為正方形,∴∠B=∠C=90°.∴∠BAE+∠AEB=90°.∵AE⊥EF,∴∠AEB+∠FEC=90°.∴∠BAE=∠FEC.∴△ABE∽△ECF.∴AB∶EC=BE∶CF.∴AB·CF=EC·BE.∵AB=1,BE=x,EC=1-x,CF=1-y,∴1·(1-y)=(1-x)·x.化簡得y=x2-x+1.

二、 填空題

8. (導學號5892921)如圖,在矩形ABCD中,AD=16,AB=12,E,F分別是邊BC,DC上的點,且EC+CF=8.設BE的長為x,△AEF的面積為y,則y關于x的函數解析式是( y=x2-10x+96 ).

第8題圖

【解析】 ∵BE=x,∴CE=16-x.∵CE+CF=8,∴CF=x-8.∴DF=20-x.∴y=S矩形ABCD-S△ABE-S△CEF-S△ADF=x2-10x+96.

9. (2018,天津和平區一模)某旅行社組團去外地旅游,30人起組團,每人的費用是800元.旅行社對超過30人的團給予優惠,即旅行團的人數每增加1人,每人的費用就降低10元.當一個旅行團有 55 人時,這個旅行社可以獲得最大的營業額.

【解析】 設一個旅行團有x人,營業額為y元.根據題意,得y=x[800-10(x-30)]=-10x2+1 100x=-10(x-55)2+30 250.故當一個旅行團有55人時,這個旅行社可以獲得最大的營業額.

三、 解答題

10. (2018,盤錦節選)鵬鵬童裝店銷售某款童裝,每件售價為60元,每星期可賣100件,為了促銷,該店決定降價銷售,經市場調查反應:每降價1元,每星期可多賣10件.已知該款童裝每件成本為30元.設該款童裝每件售價為x元,每星期的銷售量為y件.

(1)求y與x之間的函數關系式;(不求自變量的取值范圍)

(2)當每件童裝售價定為多少元時,每星期的銷售利潤最大?最大利潤是多少?

(3)當每件童裝售價定為多少元時,該店銷售該款童裝一星期可獲得3 910元的利潤?

【思路分析】 (1)每星期的銷售量等于100件加上因降價而多銷售的銷售量,由此得到函數關系式.(2)設每星期的銷售利潤為W元,構建二次函數,利用二次函數的性質解決問題.(3)根據題意列方程即可解決問題.

解:(1)y=100+10(60-x)=-10x+700.

(2)設每星期的銷售利潤為W元.

根據題意,得W=(x-30)(-10x+700)

=-10x2+1 000x-21 000

=-10(x-50)2+4 000.

∴當x=50時,W最大,W最大=4 000.

所以當每件童裝售價定為50元時,每星期的銷售利潤最大,最大利潤是4 000元.

(3)由題意,得-10(x-50)2+4 000=3 910.

解得x=53或x=47.

所以當每件童裝售價定為53元或47元時,該店銷售該款童裝一星期可獲得3 910元的利潤.

11. (2018,承德一模,導學號5892921)某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木,根據市場調查與預測,種植樹木的利潤y1與投資成本x成正比例關系,種植花卉的利潤y2與投資成本x的平方成正比例關系,并得到了表格中的數據:

投資成本x/萬元

2

種植樹木的利潤y1/萬元

4

種植花卉的利潤y2/萬元

2

(1)分別求出利潤y1與y2關于投資成本x的函數解析式;

(2)如果這位專業戶計劃以8萬元資金投入種植花卉和樹木,設他投入種植花卉金額m萬元,種植花卉和樹木共獲利潤W萬元,求出W關于m的函數解析式,并求他至少獲得多少利潤,他能獲取的最大利潤是多少.

【思路分析】 (1)根據題意設y1=kx,y2=px2,將表格中的數據分別代入求解可得.(2)由投入種植花卉金額m萬元,則投入種植樹木金額(8-m)萬元,根據“總利潤=花卉利潤+樹木利潤”列出函數解析式,利用二次函數的性質求得最值即可.

解:(1)設y1=kx.

由表格數據可知,函數y1=kx的圖象過(2,4),

∴4=k·2.

解得k=2.

故種植樹木的利潤y1關于投資成本x的函數解析式是y1=2x(x≥0).

設y2=px2.

由表格數據可知,函數y2=px2的圖象過(2,2).

∴2=p·22.

解得p=.

故種植花卉的利潤y2關于投資成本x的函數解析式是y2=x2(x≥0).

(2)因為投入種植花卉金額m萬元,則投入種植樹木金額(8-m)萬元.

根據題意,得W=2(8-m)+m2

m2-2m+16

(m-2)2+14.

∵a=>0,0≤m≤8,

∴當m=2時,W取得最小值,為14.

∵a=>0,

∴當0≤m<2時,W隨m的增大而減??;當2在對稱軸左側,當m=0時,W取得最大值,為16.

在對稱軸右側,當m=8時,W取得最大值,為32.

∵16<32,

∴當m=8時,W取得最大值,為32.

故他至少獲得14萬元的利潤,他能獲取的最大利潤是32萬元.

12. 如圖,矩形ABCD的兩邊長AB=18 cm,AD=4 cm,點P,Q分別從點A,B同時出發,點P在邊AB上沿AB方向以2 cm/s的速度勻速運動,點Q在邊BC上沿BC方向以1 cm/s的速度勻速運動,當一點到達終點時,另一點也停止運動.設運動時間為x s,△PBQ的面積為y cm2.

(1)求y關于x的函數解析式,并寫出x的取值范圍;

(2)求△PBQ的面積的最大值.

第12題圖

【思路分析】 (1)用x分別表示出PB,BQ的長,然后根據三角形的面積公式列式整理即可得解.(2)把函數解析式整理成頂點式,然后結合實際求二次函數的最值即可.

解:(1)∵S△PBQ=PB·BQ,BQ=x,PB=AB-AP=18-2x,

∴y=(18-2x)x,即y=-x2+9x(0≤x≤4).

(2)由(1)知y=-x2+9x,

∴y=-.

∵當x≤時,y隨x的增大而增大,而0≤x≤4,

∴當x=4時,y最大,y最大=20.

所以△PBQ的面積的最大值是20 cm2.

1. 某旅游村為接待游客住宿需要,開設了有100張床位的旅館,當每張床位每天收費100元時,床位可全部租出.若每張床位每天收費提高20元,則會相應地減少10張床位租出.如果每張床位每天以20元為單位提高收費,為使租出的床位少且租金高,那么每張床位每天最合適的收費是(C)

A. 140元 B. 150元

C. 160元 D. 180元

【解析】 設每張床位收費提高x個20元,每天收入為y元.根據題意,得y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1 000x+10 000.當x=-=2.5時,可使y有最大值.又x為整數,則x=2時,y=11 200;x=3時,y=11 200.所以為使租出的床位少且租金高,每張床位每天最合適的收費是100+3×20=160(元).

2. (2017,湖州,導學號5892921)湖州素有魚米之鄉之稱,某水產養殖大戶為了更好地發揮技術優勢,一次性收購了20 000 kg 淡水魚,計劃養殖一段時間后再出售.已知每天放養的費用相同,放養10天的總成本為30.4萬元;放養20天的總成本為30.8萬元(總成本=放養總費用+收購成本).

(1)設每天的放養費用是a萬元,收購成本為b萬元,求a和b的值;

(2)設這批淡水魚放養t天后的質量為m kg,銷售單價為y元/kg.根據以往經驗可知m與t的函數關系為m=y與t之間的函數關系如圖所示.

①分別求出當0≤t≤50和50<t≤100時,y關于t的函數解析式;

②設將這批淡水魚放養t天后一次性出售所得利潤為W元,求當t為何值時,W最大,并求出最大值.(利潤=銷售總額-總成本)

第2題圖

【思路分析】 (1)由放養10天的總成本為30.4萬元,放養20天的總成本為30.8萬元可列出方程組進而求得答案.(2)①分0≤t≤50,50<t≤100兩種情況,結合函數圖象利用待定系數法求解可得.②就以上兩種情況,根據“利潤=銷售總額-總成本”列出函數解析式,依據一次函數性質和二次函數性質求得最大值即可得.

解:(1)由題意,得

解得

(2)①當0≤t≤50時,設y關于t的函數解析式為y=k1t+n1.

將(0,15),(50,25)分別代入,得

解得

∴此時y關于t的函數解析式為y=t+15.

當50<t≤100時,設y關于t的函數解析式為y=k2t+n2.

將(50,25),(100,20)分別代入,得

解得

∴此時y關于t的函數解析式為y=-t+30.

②當0≤t≤50時,

W=20 000-(400t+300 000)=3 600t.

∵3 600>0,

∴當t=50時,W最大,W最大=180 000.

當50<t≤100時,

W=(100t+15 000)-(400t+300 000)

=-10t2+1 100t+150 000

=-10(t-55)2+180 250.

∵-10<0,

∴當t=55時,W最大,W最大=180 250.

綜上所述,當t=55時,W最大,最大值為180 250.

現場走動管理是餐廳日常管理的重中之重,本人一直堅持當班期間嚴格按照二八原則進行時間分配(百分之八十的時間在管理區域現場,百分之二十的時間在做信息收集和管理總結),并直接參與現場服務,對出現的問題給予及時的糾正和提示,對典型問題進行詳細記錄,共性問題分析根源,制定相應的培訓計劃,堵塞問題漏洞,加強工作記錄、考核檢查表的登記;領班主管根據值班責任劃分自己管轄區域,主要針對班前準備、班中督導、班后檢評作書面記錄,餐前準備充分性與客人個性需求作相應的指點和提醒服務,設備設施的完好狀況,員工精神狀態的調整。

  3、提升部分主題宴會服務的質量,從菜單的設計打印到配套餐具與調料的準備,特別是上菜的語言服務設計將是整個服務的點綴和裝飾,開盤菜的歡迎詞導入,餐中重頭菜肴的介紹宣傳,主食供應時的再次祝福,將時刻突出主人對主賓的尊敬熱情,也通過此舉服務讓客人在心里更加加強對朋友盛情的美好回憶,真正達到客人宴請的物質精神雙重享受。

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