德州扑克如何记牌大小:精選高中數學第三章導數及其應用3.2導數的計算高效測評新人教A版選修1 - 1

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‖2017學年高中數學 第三章 導數及其應用 3.2 導數的計算高效測評 新人教A版選修1-1

一、選擇題(每小題5分,共20分)

1.下列結論:

①(sin x)′=-cos x;②

′=

;

③(log3x)′=

;④(ln x)′=

.

其中正確的有(  )

A.0個           B.1個

C.2個 D.3個

解析: (sin x)′=cos x,故①錯誤;

′=-

,故②錯誤;

(log3x)′=

,故③錯誤;

(ln x)′=

,故④正確.

答案: B

2.已知f(x)=xα,若f′(-1)=-4,則α的值等于(  )

A.4 B.-4

C.5 D.-5

解析: ∵f′(x)=(xα)′=α·xα-1.

由題意f′(-1)=-4,即α·(-1)α-1=-4.

∴α=4.

答案: A

3.曲線f(x)=

x3-x2+5在x=1處的切線的傾斜角為(  )

A.

B.

C.

D.

解析: f′(x)=x2-2x,k=f′(1)=-1,故切線的傾斜角為

.

答案: B

4.曲線y=xsin x在點

處的切線與x軸、直線x=π所圍成的三角形的面積為(  )

A.

B.π2

C.

D.2π2

解析: 切線方程為y=-x,故圍成的三角形的面積為

.

答案: A

二、填空題(每小題5分,共10分)

5.函數y=(x+1)2(x-1)在x=1處的導數等于________.

解析: y′=[(x+1)2(x-1)]′

=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′

=2(x+1)(x-1)+(x+1)2

=3x2+2x-1

∴y′|x=1=4.

答案: 4

6.曲線y=x(3ln x+1)在點(1,1)處的切線方程為________.

解析: 利用導數的幾何意義先求得切線斜率.

∵y=x(3ln x+1),∴y′=3ln x+1+x·

=3ln x+4,

∴k=y′|x=1=4,

∴所求切線的方程為y-1=4(x-1),即y=4x-3.

答案: y=4x-3

三、解答題(每小題10分,共20分)

7.求下列函數的導數.

(1)y=sin x-2x2;(2)y=cos x·ln x;(3)y=

;

(4)y=

;(5)y=log2x2-log2x.

解析: (1)y′=(sin x-2x2)′=(sin x)′-(2x2)′=cos x-4x.

(2)y′=(cos x·ln x)′

=(cos x)′·ln x+cos x·(ln x)′

=-sin x·ln x+

.

(3)y′=

′=

.

(4)y′=

′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5=-

.

(5)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y′=(log2x)′=

.

8.已知函數f(x)=ax3+bx2+cx過點(1,5),其導函數y=f′(x)的圖象如圖所示,求f(x)的解析式.

解析: ∵f(x)=ax3+bx2+cx,

∴f′(x)=3ax2+2bx+c.

由圖象可知f′(1)=0,f′(2)=0.

∴3a+2b+c=0,①12a+4b+c=0,②

又函數f(x)的圖象過點(1,5),∴f(1)=5,

即a+b+c=5?、?p>由①②③可得a=2,b=-9,c=12.

∴函數y=f(x)的解析式為f(x)=2x3-9x2+12x.

9.(10分)設函數f(x)=

x3-

x2+bx+c,其中a>0,曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線方程為y=1,確定b,c的值.

解析: 由題意得:f(0)=c,

f′(x)=x2-ax+b,

由切點P(0,f(0))既在曲線f(x)=

x3-

x2+bx+c上又在切線y=1上知

故b=0,c=1.

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